La Enseñanza de las Matemáticas en los Siglos XVII y XXI

DENNIS C. SMOLARSKI, S.J.

Universidad de Santa Clara

Santa Clara, CA 95053

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A finales de los años sesenta, mucha gente tuvo una visión ficticia del comienzo del siglo XXI a través de la película 2001: Una odisea del espacio. Al principio de la película, una expedición lunar descubre un gran monolito negro en el cráter Clavius. Aunque la película era ficticia y los ordenadores aún no han alcanzado la capacidad de HAL para hablar y leer los labios, el cráter lunar Clavius existe y debe su nombre a un erudito del siglo XVI que contribuyó decisivamente a introducir las matemáticas en los planes de estudios universitarios.

A Christopher Clavius (1538-1612) se le asocia a menudo con la justificación astronómica y matemática del cambio del calendario juliano al gregoriano. También fue un profesor universitario convencido de que las matemáticas debían formar parte de los planes de estudios universitarios y de la necesidad de formar profesores de matemáticas. Ejerció su influencia en la Ratio Studiorum (El Plan de Estudios), un documento de 1599 que incluía normas administrativas y directrices curriculares para los colegios jesuitas, además de ofrecer sugerencias pedagógicas en forma de "Reglas" para los profesores de diversas asignaturas (se dispone del texto en latín [15] y de traducciones al inglés [6, 7]). Este documento de 400 años de antigüedad proporcionaba directrices para la enseñanza de las matemáticas en los colegios jesuitas del siglo XVII y contiene lo que pueden parecer sugerencias novedosas e incluso modernas para la implicación de los alumnos en el aprendizaje de las matemáticas. En particular, la Ratio Studiorum preconizaba lo que hoy podríamos llamar coloquios estudiantiles y sesiones interactivas de repaso. Por esta razón, Clavius podría ser considerado el padre de ciertas técnicas pedagógicas contemporáneas en matemáticas.

técnicas pedagógicas contemporáneas en matemáticas. En los últimos cuarenta años se han producido numerosos intentos de revitalizar el currículo matemático y la pedagogía de las matemáticas, especialmente en Estados Unidos. Especialmente en los últimos veinte años, se ha dedicado mucho tiempo y energía a los cursos de cálculo de nivel universitario, con resultados tan conocidos como el enfoque del Cálculo de la Reforma de Harvard (véanse también dos volúmenes de la serie MAA Notes [5, 23] y un libro de Krantz [13] con sus útiles apéndices). La Asociación Matemática de América organizó sesiones especiales sobre la reforma del cálculo en sus reuniones anuales de 1996 y 1997. El número de octubre de 1997 de la revista American Mathematical Monthly contenía varios artículos sobre el tema y The College Mathematics Journal [17, 10] aborda con frecuencia estas preocupaciones. Muchas páginas web, por ejemplo las de Cornell, Swarthmore y Harvard, están dedicadas a este debate.

El eslogan aprendizaje cooperativo se utiliza a menudo para describir técnicas como las presentaciones de los alumnos y las sesiones interactivas en clase. Estos componentes interactivos surgen de la experiencia, común entre los profesores, de que uno llega a comprender mejor un tema explicándoselo a los demás. Esta experiencia ha llevado a los profesores a asignar ensayos sobre temas matemáticos [20] o presentaciones orales en clase. Aunque tales ideas puedan parecer revolucionarias, existen, de hecho, referencias a estas prácticas en la Ratio Studiorum. En particular, una directriz en las Reglas para el profesor de matemáticas en la Ratio exige que los estudiantes presenten una solución a "algún problema matemático famoso" ante una asamblea de otros estudiantes [6, p. 46; 7, p. 175], un precursor de las presentaciones contemporáneas de los estudiantes.

Christopher Clavius, matemático jesuita

Christopher Clavius nació en Bamberg, Alemania, en 1538. En 1555 viajó a Roma para ingresar en la Compañía de Jesús (comúnmente conocida como los jesuitas), una orden religiosa de la Iglesia católica. Nueve años más tarde, en 1564, fue ordenado sacerdote mientras finalizaba sus estudios de teología en el Colegio Romano, dirigido por los jesuitas y hoy conocido como Universidad Gregoriana. Hacia 1564 comenzó a impartir clases regulares de matemáticas en el Colegio Romano. Clavius enseñó durante más de 45 años en Roma, hasta su muerte en 1612 (excepto dos años en 1596 y 1597, cuando estuvo en Nápoles y España). Los documentos del Colegio Romano [24, p. 7] indican que Clavius fue el único profesor de matemáticas durante al menos 22 años, entre 1564 y 1595.

Clavius vivió al principio de lo que hoy se llama la "Revolución Científica". Era la época de Copérnico (que publicó De revolutionibus en 1543) y de Galileo (condenado por la Inquisición en 1633), con quien Clavius discutió los fenómenos astronómicos. Newton nacería 30 años después de la muerte de Clavius. Eran tiempos de gran especulación científica, así como de inercia intelectual y oposición eclesiástica, sobre todo a Galileo.

En la comunidad académica de la Italia del siglo XVI, había dos facciones enfrentadas sobre el papel de las matemáticas en la ciencia y la educación. Una facción estaba formada por una serie de destacados filósofos italianos que negaban que las matemáticas puras debieran considerarse scientia, es decir, conocimiento científico en el sentido aristotélico [3, pp. 36-37; 12, p. 5; 14, p. 33; 24, p. 136]. La otra facción estaba representada por Clavius. En aquella época, en Italia, las únicas disciplinas profesionales aceptadas para el estudio universitario eran la teología, la medicina y el derecho [8, p. 126; 12, p. 81]. Los temas matemáticos se presentaban en el estudio de la lógica en el trivium (junto a la gramática y la retórica) y también en el quadrivium de aritmética, geometría y astronomía (enseñadas como geometría aplicada), y música (enseñada como aritmética aplicada). Pero se trataba de asignaturas preparatorias que los estudiantes debían aprender antes de entrar en la universidad para estudiar filosofía como base de sus estudios profesionales. Las matemáticas propiamente dichas no solían enseñarse en la universidad [3, p. 35]. Clavius intentó cambiar esta situación, al menos en los colegios jesuitas.

La Orden de los Jesuitas fue aprobada en 1540 y casi de inmediato se puso a fundar escuelas. En 1556, el año de la muerte de Ignacio de Loyola, fundador de la Orden de los Jesuitas, el número de colegios jesuitas era de 35. Cincuenta y nueve años más tarde, en 1615, tres años después de la muerte de Clavius, el número había aumentado a 372 [11, p. 201]. A mediados de este período, la creación de la Ratio Studiorum fue autorizada por el jefe de la Orden Jesuita, el Padre General Claude Aquaviva, con el fin de proporcionar directrices comunes para el plan de estudios, la pedagogía y la organización de estas escuelas.

En 1584, seis profesores jesuitas, elegidos de diferentes provincias jesuitas europeas, se reunieron en Roma y revisaron los diversos documentos educativos locales en uso en las escuelas jesuitas. En agosto de 1585, esta comisión presentó un informe a Aquaviva quien, a su vez, presentó el borrador a la facultad del Colegio Romano, donde Clavius había estado enseñando durante unos 20 años [7, pp. 28-30]. Tras una revisión, el primer borrador de la Ratio apareció en 1586 y fue enviado a los colegios jesuitas de toda Europa con la petición de comentarios. Un segundo borrador ("1586B") también se escribió en 1586, pero no se publicó ni circuló. Los comentarios recogidos sobre la Ratio original de 1586 fueron estudiados de nuevo por la facultad del Colegio Romano y en 1591 se publicó una Ratio revisada que se distribuyó para su revisión. Tras un nuevo estudio en Roma, tanto por parte del Padre General Aquaviva como de la facultad del Colegio Romano, se promulgó una versión definitiva en 1599 [7, pp. 31-33] (véase también la carta introductoria de promulgación de la Ratio de 1599, [6, pp. xii-xiii; 7, pp. 119- 20]).

La Ratio proporcionaba una lista común de asignaturas que debían enseñarse, incluyendo latín, griego, hebreo, Sagradas Escrituras, teología, filosofía (que incluía lógica, física y meteorología), filosofía moral y matemáticas, formando un primer tipo de plan de estudios básico. Además, incluía diversas sugerencias sobre técnicas pedagógicas y normas para los profesores. Con estas directrices, la Ratio pretendía ofrecer un enfoque uniforme de la educación secundaria y superior en los colegios asociados a la Orden de los Jesuitas en toda Europa y en otros lugares. La versión definitiva de la Ratio apareció en 1599 en un momento crucial de la historia de la educación jesuita, cuando se produjo un rápido aumento del número de colegios jesuitas.

Durante las dos décadas anteriores a la publicación de la Ratio de 1599, Clavius escribió varios tratados sobre matemáticas que fueron revisados por Aquaviva y, muy probablemente, por otros implicados en la redacción y revisión de la Ratio [12, pp. 61, 64] (el texto latino de estos documentos también está disponible [16, pp. 109-22]). Los dos documentos principales fueron Modus quo disciplinæ mathematicæ in scholis Societatis possent promoveri (Un método para promover las disciplinas matemáticas en las escuelas de la Sociedad) (escrito hacia 1582) y De re mathematica instructio (Sobre la enseñanza de las matemáticas) (escrito antes de 1593) [22].

El primer documento (Un método . . .) parece haber sido redactado en respuesta a una petición de Aquaviva en 1582 para que el profesorado del Colegio Romano transmitiera su parecer sobre la enseñanza de diversas materias [16, p. 109]. En las sugerencias que hace Clavius, se ve un indicio del clima intelectual de la época. Para cambiar la opinión común sobre las matemáticas, Clavius recomienda que "invitandus erit magister [artium mathematicarum] ad actus solemniores, quibus doctores creantur et disputationes publicæ instituuntur (el profesor de matemáticas debería ser invitado a los actos más solemnes en los que se confieren doctorados y se celebran disputas públicas. . . )" [16, p. 115]. (Luego critica, en particular, a los profesores de filosofía porque, como escribe, "docent, scientias mathematicas non esse scientias (enseñan que las ciencias matemáticas no son ciencias)" [16, p. 116]. Afirma que los profesores deberían animar a los alumnos a aprender matemáticas, inculcandoles lo importante que es esta disciplina [16, p. 117]. Clavius también sostiene que no se pueden entender diversos fenómenos naturales sin las matemáticas. Es evidente que algunos de los consejos de Clavius fueron incorporados por la comisión de redacción a los distintos borradores de la Ratio. También es posible ver algunas similitudes entre los elogios a las matemáticas en el primer borrador de la Ratio, de 1586, y los elogios a las matemáticas en el primer documento de Clavius.

El segundo documento (Sobre la enseñanza de las matemáticas) se cita en un decreto de 1593 sobre el tema de la educación de los profesores de matemáticas [16, p. 622], redactado por el rector del Colegio Romano, Roberto Belarmino, por deseo de Aquaviva. El documento subraya lo vital que es formar bien a los futuros profesores de matemáticas. También ofrece sugerencias específicas sobre qué temas matemáticos deberían enseñarse, a saber, Euclides, los elementos esféricos de Teodosio, las cónicas de Apolonio, temas aplicados pertenecientes a la astronomía y la física (mediante el estudio de Arquímedes), y álgebra [16, p. 118]. Estos temas resumen brevemente una lista más detallada de temas matemáticos que Clavius preparó antes de 1581 (Ordo servandus in addiscendis disciplinis mathematicis [El orden a observar en la enseñanza de las disciplinas matemáticas], [16, pp. 110-15]). Este documento también propone cómo debería llevarse a cabo esta formación, sugiriendo el estudio privado de las matemáticas durante un año completo después de que los jóvenes seminaristas jesuitas hubieran completado sus estudios de filosofía y antes de estudiar teología [16, p. 118]. Cerca de su final, el documento incluye un grito de exasperación, "cum egeamus magistris mathematices (Necesitamos profesores de matemáticas)" [16, p. 118].

En ambos documentos se aprecia la tensión entre la promoción de Clavius de la importancia de las matemáticas en un plan de estudios universitario y la postura mantenida por los filósofos italianos, algunos de los cuales eran también jesuitas. Esta tensión también es evidente en los distintos borradores de la Ratio. Por ejemplo, el borrador de la Ratio de 1591 contiene una curiosa sección en la que se menciona a Clavius y luego se instruye a los administradores de las escuelas para que vigilen que los instructores de filosofía no menosprecien la dignidad de las matemáticas (un tema al que se alude en Un método...). Luego termina con la afirmación, "fit enim sæpe, ut qui minus ista novit, his magis detrahat (a menudo, cuanto menos se sabe de tales cosas, más se detrae)" (1591 Ratio Studiorum, Reglas para el Superior Provincial: Sobre las matemáticas, n. 44 [15, p. 236]).

Los lectores de los diversos borradores de la Ratio y de los documentos escritos por Clavius pueden ver la influencia de alguien que valora mucho las matemáticas y que se preocupa de que la joven Orden jesuita forme bien a los estudiantes en las ciencias matemáticas, una postura impopular en la Italia de finales del siglo XVI. La opinión personal de Clavius sobre las matemáticas parece resumirse mejor en sus palabras: "Puesto que ... las disciplinas matemáticas de hecho requieren, se deleitan y honran la verdad ... no puede haber duda de que se les debe conceder el primer lugar entre todas las demás ciencias" [3, p. 38]. Este elogio es similar a la conocida afirmación de Carl F. Gauss (1777-1855) de que "las matemáticas son la reina de las ciencias", ¡pero Clavius vivió dos siglos antes!

La pedagogía de las matemáticas en la Ratio Studiorum

Parece razonable concluir que Clavius tuvo algún efecto en la Ratio Studiorum. Aquaviva y quienes redactaron y revisaron la Ratio no sólo habrían leído los tratados descritos anteriormente, sino que habrían solicitado comentarios personales a profesores del Colegio Romano, como Clavius. El hecho de que se mencione a Clavius tanto en el borrador de 1586 como en el de 1591 es prueba suficiente de su influencia. Como ya se ha señalado, Clavius fue durante muchos años el único profesor de matemáticas del Colegio Romano cuyo cuerpo docente revisaba los borradores de la Ratio. Lo que tienen en común los tres borradores y el texto final es un énfasis en las matemáticas poco habitual en aquella época en Italia. Estos textos prescriben que todos los estudiantes aprendan matemáticas durante un año, en concreto, Euclides y temas relacionados con la geografía (es decir, geometría aplicada), y la esfera. (Dado que Clavius había publicado varios textos matemáticos, en la versión final de la Ratio no se necesitaban más detalles). De hecho, los primeros borradores de la Ratio también recomendaban un segundo año de matemáticas para los interesados en seguir estudiando.

Los primeros borradores de la Ratio, que mencionan específicamente a Clavius, también sugerían ciertas prácticas para ayudar a los estudiantes a comprender mejor la asignatura. Como ya se ha señalado, estas prácticas pueden entenderse mejor en términos de sus homólogos contemporáneos: el coloquio y la sesión de repaso.

En el borrador de 1586B, el texto relativo a las matemáticas incluye una recomendación de coloquios o presentaciones por parte de los estudiantes: "Semel aut iterum in mense auditorum aliquis in magno philosophorum theologorumque conventu illustre aliquod problema mathematicum enarret, prius a magistro, sicut oportet, edoctus. (Una o dos veces al mes, que alguno de los estudiantes explique detalladamente algún famoso problema matemático ante una gran reunión de estudiantes de filosofía y teología, después de haberlo enseñado primero a fondo el maestro, según sea necesario)". [15, p. 177]. En la Ratio final de 1599, esta recomendación se reformula: "Singulis aut alternis saltem mensibus ab aliquo auditorum magno philosophorum theologorumque conventu illustre problema mathematicum enodandum curet; posteaque, si videbitur, argumentandum. (Que [el profesor de matemáticas] disponga que cada mes o cada dos meses alguno de los estudiantes ante una gran reunión de estudiantes de filosofía y teología tenga que resolver algún problema matemático famoso y después, si le parece bien, defender su solución)" [15, p. 402] (también [6, p. 46; 7, p. 175]). Uno está tentado de ver en el cambio de "una o dos veces al mes" a "cada mes o cada dos meses" una concesión a las voces de oposición levantadas por otros profesores.

En el borador de 1586B, también se menciona una sesión de revisión interactiva en la siguiente recomendación: "In cuiusque etiam mensis sabbato uno, prælectionis loco, præcipua, quæ per eum mensem explicata fuerint, publice repetantur, non perpetua oratione, sed se mutuo percunctantibus auditoribus hoc fere modo: Repete illam propositionem. Quomodo demonstratur? ¿Potestne aliter demonstrari? Quem usum habet in artibus et in reliqua vitæ communis praxi? (Que un sábado de cada mes, en lugar de la conferencia, se repitan públicamente los puntos principales que durante ese mes se hayan explicado, no en un discurso ininterrumpido, sino con los alumnos haciéndose mutuamente preguntas, generalmente de esta manera: "Repite esa proposición". '¿Cómo se demuestra?' '¿Se puede demostrar de otro modo?' '¿Qué utilidad tiene en las artes o en las demás prácticas de la vida común?')". [15, p. 177].

Como resultado de las recomendaciones de una reunión general de delegados jesuitas en 1593-94 de que la Ratio definitiva fuera más breve [7, p. 32], ya no se incluyeron los detalles sobre la interacción de los estudiantes y los tipos de preguntas que éstos debían hacer. Pero la Ratio definitiva de 1599 mantuvo la "Repetición" (sesión de repaso) como práctica habitual en su recomendación: "Una vez al mes y generalmente en sábado, en lugar de la lección, se repitan públicamente los puntos principales que se hayan explicado durante ese mes". [15, p. 402] (también [6, p. 46; 7, p. 175]).

Prácticas pedagógicas similares, como la exposición de los alumnos (o "disputa") y las recensiones, se prescriben también en la Ratio de 1599 para otras asignaturas (por ejemplo, Filosofía y Teología [6, p. 20-21; 7, p. 144-45], y Escritura [6, p. 32; 7, p. 159]). Lo que es especialmente notable es la inclusión de versiones de estas prácticas, modificadas para la enseñanza de las matemáticas, en la Ratio de 1599. Es cierto que no hay pruebas directas, ni en los documentos de Clavius sobre matemáticas ni en otros documentos, de que Clavius originara estas prácticas pedagógicas. Sin embargo, el hecho de que su nombre aparezca en los primeros borradores de la Ratio junto con la enumeración de estas prácticas (y de las preguntas más detalladas propuestas) y que, como miembro del profesorado del Colegio Romano, revisara los borradores de la Ratio, sugiere que sí ejerció su influencia en el texto de la Ratio definitiva de 1599.

Las directrices de la Ratio de 1599, así como los ejemplos de preguntas de los alumnos de las versiones anteriores, fomentaban la participación regular de los estudiantes y recomendaban que, como parte de la revisión de la materia, los alumnos reflexionaran sobre demostraciones alternativas de teoremas matemáticos y sobre la aplicación de las matemáticas a otros ámbitos de la vida. Recomendaciones similares han reaparecido en la última década, pero, es interesante señalar, que en el núcleo de algunas de estas modernas sugerencias pedagógicas se encuentra una tradición de más de 400 años de antigüedad.

El legado de Clavius

Desde un punto de vista contemporáneo, Clavius creó relativamente pocas matemáticas originales, pero la época no era propicia para ello. Hoy sabemos que los matemáticos necesitan el clima adecuado para alimentar nuevos desarrollos. Sin embargo, Clavius demostró geométricamente que, dado un polígono regular de 2n + 1 lados, el ángulo base es n veces el ángulo cúspide de un triángulo isósceles formado por un vértice del polígono y su lado opuesto. (Así, para un pentágono, n es igual a 2, y el ángulo base sería el doble del ángulo cúspide). Dos siglos más tarde, Gauss repetiría la demostración algebraicamente y utilizaría el resultado para construir un polígono regular de 17 lados mediante regla y compás [18, p. 25; 19, p. 336].

Quizás, el mayor legado de Clavius fue su influencia en la versión definitiva de la Ratio Studiorum, que llevó a la inclusión de las matemáticas como asignatura estándar enseñada en los colegios jesuitas [3, pp. 34-36]. Esta inclusión es especialmente significativa, dada la opinión común en los círculos académicos italianos sobre las matemáticas en aquella época. Esto fue particularmente crucial porque la fundación de las escuelas jesuitas coincidió esencialmente con el comienzo de la revolución científica.

En Un método . . . Clavius propuso incluso la creación de una "academia" para el estudio más avanzado de las matemáticas. Tal academia especializada se mencionó explícitamente en los dos primeros borradores públicos de la Ratio, pero en la versión definitiva de 1599 de la Ratio este mandato se redujo a la sugerencia de que se dieran "lecciones privadas" a los más inclinados hacia las matemáticas (Reglas para los Provinciales, n. 20, [6, p. 8; 7, p. 130]). Aunque en la Ratio definitiva para todas las escuelas no se mencionaba un programa especial de matemáticas avanzadas, la visión de Clavius de establecer una escuela especial para formar matemáticos jesuitas se hizo realidad en Amberes casi al final de la vida de Clavius. En 1611 Franc¸ois d'Aguilon, S.J. fundó una escuela de matemáticas a la que se unió Gregory St. Vincent, S.J. hacia 1616, que había estudiado con Clavius en Roma. Durante su vida, San Vicente investigó conceptos matemáticos que hoy veríamos como precursores del cálculo infinitesimal. La visión de Clavius de una "academia" especial puede verse como un precursor de las clases de honores, seminarios o estudios dirigidos en las escuelas contemporáneas, donde los estudiantes con un talento excepcional y amor por las matemáticas pueden ver alimentada y desafiada su curiosidad matemática.

Otra contribución de Clavius a la comunidad matemática de generaciones posteriores fue su conjunto de textos matemáticos. Por ejemplo, en 1574 Clavius publicó Los elementos de Euclides. No se trataba simplemente de una traducción, sino de un texto que contenía la obra de Euclides, así como comentarios sobre la misma, muchos de ellos tomados de comentaristas y editores anteriores, pero que también incluía las propias críticas y elucidaciones de Clavius sobre los axiomas de Euclides. Este texto ha sido tomado como modelo y ha llevado a Clavius a ser llamado el Euclides del siglo XVI [4, p. 311]. Fue este texto el que el misionero jesuita Matteo Ricci llevó a China y tradujo al chino, dando a Oriente su primer contacto con Euclides. Ricci fue alumno de Clavius a mediados de la década de 1570 y, debido a sus conocimientos científicos que, en gran medida, le fueron impartidos por Clavius, es uno de los pocos occidentales que siguen siendo honrados en China. La tumba de Ricci, cerca de Pekín, sigue siendo lugar de peregrinación. Otras obras importantes de Clavius son In Sphæram Ioannis de Sacro Bosco commentarius (1581), Epitome arithmeticæ practicæ (1583), Astrolabium (1593), Geometria practica (1604), Algebra (1608) y Triangula sphærica (1611). Estos textos bien escritos se reimprimieron numerosas veces y se utilizaron ampliamente en los colegios jesuitas. También fueron utilizados por matemáticos como Leibniz y Descartes (que estudió en el colegio jesuita de La Fleche) [ ` 18, pp. 7, 48; 3, p. 34].

En sus textos, Clavius utilizó notación que se ha convertido en estándar en las matemáticas de hoy, como el signo de raíz cuadrada, los paréntesis, el símbolo parecido a la x para una incógnita [2, pp. 369, 151, 154,], y el punto decimal [9; 1, p. 303], aunque Cajori parece menos seguro sobre la comprensión de Clavius del punto como punto decimal [2, p. 322]. Aunque algunos de estos símbolos ya habían sido utilizados por otros en tierras germanas, Clavius contribuyó a traerlos a Italia y a estandarizar esta notación matemática gracias a su aparición en sus libros, ampliamente difundidos.

Resumen

El historiador de la ciencia George Sarton llama a Clavius "el profesor más influyente del Renacimiento" [21, p. 70]. Clavius estaba convencido de la importancia del estudio de las matemáticas en las universidades y ayudó a influir en la Ratio Studioum de los jesuitas para que incluyera las matemáticas como parte obligatoria del plan de estudios. Este documento de 400 años de antigüedad también avanzó la idea de que los estudiantes comprenderían mejor los conceptos matemáticos explicándolos a los demás y cuestionando las derivaciones matemáticas durante un repaso. Estas prácticas siguen siendo herramientas eficaces para ayudar a los estudiantes del siglo XXI a apreciar la belleza y las maravillas de las matemáticas.

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Original article: webpages.scu.edu/ftp/dsmolarski/claviusmathmag.pdf